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1: 科目ごとのノート

1.1: Personal 数学

1.1.1: 双曲型(Hyperbolic type) PDE
1.1.2: Fourier

2: 授業ノート

2.1: 東北大学

2.1.1: 専門科目

2.1.1.1: 数学物理学演習Ⅱ

2.1.1.1.1: 第25章複素関数論
2.1.1.1.2: 第26章複素関数の応用

2.1.1.2: 数学Ⅱ

2.1.2: 全学教育

2.1.2.1: LU分解
2.1.2.2: QR分解

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1 - 科目ごとのノート

科目ごとのノート

1.1 - Personal 数学

数学

1.1.1 - 双曲型(Hyperbolic type) PDE

偏微分方程式（PDE），特に今学習されている双曲型(Hyperbolic type) PDEについて，一番最初の「そもそもPDEとは何か？」という部分から，解法，そしてその物理的な意味まで，順を追って丁寧に解説します．

1. そもそも偏微分方程式(PDE)とは？

まず，常微分方程式(ODE)との違いから始めましょう．

常微分方程式 (ODE): 独立変数が1つだけの微分方程式．例：物体の運動 $md^2x/dt^2 = F$．変数は時間$t$のみ．

偏微分方程式 (PDE): 独立変数が2つ以上ある微分方程式．例：海の波の高さ $u$．波の高さは，場所$x$と時間$t$の両方によって変わります．この$u(x, t)$に関する方程式がPDEです．

PDEは，物理現象，工学，金融など，時間と空間（あるいはそれ以上の変数）の中で変化する量を記述するための言語なのです．

2. なぜPDEを分類するのか？ (双曲型・放物型・楕円型)

2階線形のPDEは，その性質によって大きく3種類に分類されます．

$$A u_{xx} + B u_{xy} + C u_{yy} + \cdots = 0$$

この式の係数から判別式 $\Delta = B^2 - 4AC$ を計算し，その符号によって分類します．

双曲型 (Hyperbolic, $\Delta > 0$):
- 性質: 波の伝播を記述する．情報は有限の速さで伝わる．
- 代表例: 波動方程式 $u_{tt} - c^2 u_{xx} = 0$
- イメージ: 水面に石を投げた時の波紋の広がり．
放物型 (Parabolic, $\Delta = 0$):
- 性質: 熱や物質の拡散を記述する．情報は瞬時に（ただし非常に弱く）無限遠まで伝わり，時間と共に滑らかになっていく．
- 代表例: 熱伝導方程式 $u_t - k u_{xx} = 0$
- イメージ: 熱い鉄の棒の熱がじわじわと冷たい方へ伝わる様子．
楕円型 (Elliptic, $\Delta < 0$):
- 性質: 定常状態や平衡状態を記述する．時間変化を含まず，ある領域の内部の状態は，その領域の境界全体によって決まる．
- 代表例: ラプラス方程式 $u_{xx} + u_{yy} = 0$
- イメージ: ゴム膜の縁を固定したときの，膜全体のつり合いの形．

このように分類することで，方程式を見ただけで「これは波の問題だな」「これは熱の問題だな」と現象の性質を理解でき，適切な解法を選択できるようになります．

3. 双曲型PDEの解法：波動方程式とダランベールの解

ここからが本題です．双曲型PDEの最も代表的な例である，1次元波動方程式の解法を見ていきましょう．

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

ここで，$u(x,t)$は位置$x$，時刻$t$における弦の変位などを，$c$は波の伝わる速さを表します．

ダランベールの解法（特性座標法）

この方程式を解くための，非常にエレガントな方法がダランベールの解法です．

ステップ1：変数変換 新しい変数（特性座標）$\xi$ (クシー) と $\eta$ (イータ) を導入します．

$$\begin{aligned} \xi &= x + ct \\ \eta &= x - ct \end{aligned}$$

$\xi$は速さ$c$で左に進む座標系，$\eta$は速さ$c$で右に進む座標系と解釈できます．

ステップ2：連鎖律（Chain Rule）で微分を変換 $u$を$\xi$と$\eta$の関数とみなし，$\partial/\partial x$と$\partial/\partial t$を$\partial/\partial \xi$と$\partial/\partial \eta$で書き直します．（計算は少し複雑ですが，結果は以下のようになります）

$$\frac{\partial^2}{\partial t^2} - c^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} \quad \longrightarrow \quad -4c^2 \frac{\partial^2}{\partial \xi \partial \eta}$$

すると，元の複雑な波動方程式は，信じられないほど簡単な形になります．

$$-4c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} = 0$$

ステップ3：積分して解を求める この簡単な式を積分していきます．まず$\eta$で積分する：$\frac{\partial u}{\partial \xi} = \phi(\xi)$ （$\phi(\xi)$は$\xi$だけの任意の関数）次に$\xi$で積分する：$u(\xi, \eta) = \int \phi(\xi)d\xi + G(\eta)$ $\int \phi(\xi)d\xi$も$\xi$だけの任意の関数なので，これを$F(\xi)$と書き直すと，

$$u(\xi, \eta) = F(\xi) + G(\eta)$$

ステップ4：元の変数に戻す 最後に，$\xi=x+ct$と$\eta=x-ct$を代入して，元の$x, t$の世界に戻します．

$$u(x,t) = F(x+ct) + G(x-ct)$$

これが波動方程式の一般解で，ダランベールの解と呼ばれます．

4. ダランベールの解の物理的意味

この解 $u(x,t) = F(x+ct) + G(x-ct)$ は，非常に明快な物理的意味を持っています．

$G(x-ct)$: $t=0$のときの波の形が$G(x)$で，それが形を変えずに速さ$c$で右方向へ進んでいく波を表します．
$F(x+ct)$: $t=0$のときの波の形が$F(x)$で，それが形を変えずに速さ$c$で左方向へ進んでいく波を表します．

つまり，双曲型PDE（波動方程式）の解は，**互いに逆方向に進む2つの波の重ね合わせ（足し算）**で表現できる，ということを示しています．

5. 具体例：弦を弾く問題

無限に長い弦を考え，時刻$t=0$で以下のような初期状態を与えます．

初期位置: $u(x,0) = f(x)$ （弦の最初の形）
初期速度: $u_t(x,0) = g(x)$ （弦の各点の最初の速度）

この初期条件をダランベールの解に適用すると，$F$と$G$は初期条件$f, g$を使って書き表せ，最終的に以下の解が得られます．

$$u(x,t) = \frac{1}{2}\left[ f(x+ct) + f(x-ct) \right] + \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct} g(s)ds$$

これが初期値問題の完全な解です．

例：弦をそっと離す場合 ($g(x)=0$)

初期速度が0の場合，解はさらに簡単になります．

$$u(x,t) = \frac{1}{2}\left[ f(x+ct) + f(x-ct) \right]$$

これは，**「最初の波形$f(x)$が，半分の高さを持つ2つの波に分裂し，それぞれが左右に伝播していく」**ことを意味します．

もし最初の形$f(x)$が三角形だったら，半分の高さの三角形が2つ，左右にサーッと広がっていく様子が，この式から見て取れるのです．これが双曲型PDEが描く「波の伝播」の具体的な姿です．

1.1.2 - Fourier

RLC回路の話を、数式をできるだけ使わずに、もっと直感的で初心者にも分かりやすいように解説しますね。

RLC回路って、身近なもので例えると何？

電気回路の話はイメージしにくいので、まずは**「ブランコを押す人」**に例えてみましょう。

あなた（電源）: ブランコを押す人です。一定のリズムで「押して、引いて」を繰り返します。
ブランコ（回路）: あなたが押す対象です。
溜まる電気（電荷）: ブランコがどれだけ高く上がったか、その「高さ」だと思ってください。

このブランコには、3つの「邪魔者」がいます。これがRLC回路の R（抵抗）、L（コイル）、C（コンデンサ） にあたります。

R（抵抗）: 空気抵抗や摩擦のようなものです。ブランコの勢いを単純に弱めます。エネルギーを消費する正直な邪魔者です。
L（コイル）: **ブランコの「重さ」や「慣性」**です。急な変化が嫌いで、動き出すのに少し時間がかかるし、一度動き出すと今度はなかなか止まりません。天邪鬼（あまのじゃく）な性質を持っています。
C（コンデンサ）: **ブランコの「バネ」**のようなものです。押されると、その力を溜め込んで「ぐっ」と押し返そうとします。電気を一時的に溜めるタンクの役割です。

1. 「定常状態」って、どんな状態？

あなたがブランコを押し始めた瞬間を想像してください。

最初の数回（過渡状態）: ブランコはグラグラと不規則に揺れたり、あなたの押すタイミングとズレたりしますよね。これが「過渡状態」です。回路で言えば、スイッチを入れた直後の不安定な状態です。
しばらく押した後（定常状態）: やがて、あなたの押すリズムとブランコの揺れるリズムが完全に合ってきて、毎回同じ高さまで、安定して大きく揺れ続けます。これが「定常状態」です。

つまり、定常状態とは、回路が電源のリズムにすっかり馴染んで、安定した電気の波がずーっと続く状態のことです。私たちが知りたいのは、この安定した状態のときに、ブランコが「どのくらいの高さまで（振幅）」「どんなタイミングで（位相）」揺れるのか、ということです。

2. 定常状態での電気の振る舞い

さて、あなたが一定のリズムで「押す、引く」を繰り返すと（正弦波の電源）、安定して揺れるブランコ（定常状態の回路）では何が起きるでしょうか。

振幅（どれだけ電気が溜まるか）

ブランコの高さは、あなたの押し方と、3人の邪魔者（R, L, C）の邪魔の仕方で決まります。回路でも同じで、コンデンサに溜まる電気の量（電荷の振幅）は、電源のパワーと、RLCの邪魔の度合い（専門用語でインピーダンス）によって決まります。

面白いのは、コイル(L)とコンデンサ(C)の邪魔の仕方は、あなたの押すリズム（周波数）によって変わることです。

速いリズムで押すと…: コイル（慣性）は「速すぎてついていけない！」と強く抵抗します。
ゆっくりなリズムで押すと…: コンデンサ（バネ）は「じっくり溜められる！」と、たくさん電気を溜め込んで大きく押し返そうとします。

このバランスがちょうど良い特定の速さ（共振周波数）で押すと、ブランコがものすごく大きく揺れるように、回路にも非常に大きな電気が流れます。

位相（タイミングのズレ）

ブランコを押しても、あなたが「押した」瞬間にブランコが一番高くなるわけではありませんよね？少しタイミングがズレます。

回路でも同じように、電源が「今が最大パワーだ！」というタイミングと、コンデンサの電気が満タンになるタイミングには、少し**ズレ（位相のズレ）**が生じます。このズレ方も、3人の邪魔者のバランスによって決まります。

3. なぜ「フーリエ級数」なんて難しい道具を使うの？

ここまでの話は、あなたが「押す、引く、押す、引く…」と綺麗なリズム（正弦波）でブランコを押す場合でした。

では、もしあなたの押し方が**「グッ、グッ、（休み）、グッ、グッ、（休み）…」**のような、もっと複雑なリズム（矩形波など）だったらどうなるでしょう？ブランコの揺れ方を予測するのは、とても難しそうですよね。

ここで登場するのがフーリエ級数という魔法の道具です。

フーリエ級数は「音の分解」に似ている

オーケストラの「ジャーン！」という複雑な和音を聴いたとき、耳の良い人なら「今の音は『ド』と『ミ』と『ソ』の音が混ざっているな」と分かります。

フーリエ級数は、これと全く同じことを電気の波で行います。

フーリエ級数の役割: どんなに複雑な形の波（電圧）でも、「綺麗な波（正弦波）A」＋「綺麗な波B」＋「綺麗な波C」… という単純な波の足し算に分解してくれるのです。

<br>

分解できれば、あとは簡単！

RLC回路は「素直な」回路なので、**「重ね合わせの理」という便利なルールが使えます。これは、「別々に考えて、後で全部足し算すればOK」**というルールです。

つまり、複雑なリズムの電源が来ても、慌てる必要はありません。

【分解】 まず、フーリエ級数を使って、複雑なリズムをたくさんの「単純なリズム」のセットに分解します。
【個別計算】 次に、分解された一つ一つの単純なリズムに対して、回路がどう反応するか（ブランコがどう揺れるか）を計算します。これは、私たちがすでにやり方を知っている簡単な計算です。
【合体】 最後に、全部の計算結果を足し合わせます。すると、元の複雑なリズムに対する最終的な答えが手に入るのです！

結論として、フーリエ級数を使うのは、一見して手に負えない複雑な問題を、たくさんの「解き方を知っている簡単な問題」に分解して、一つずつ片付けていくための、非常に賢い作戦なのです。

2 - 授業ノート

科目ごとの授業ノート

2.1 - 東北大学

東北大学

2.1.1 - 専門科目

専門科目

2.1.1.1 - 数学物理学演習Ⅱ

数学物理学演習Ⅱ

2.1.1.1.1 - 第25章複素関数論

第25章複素関数論

この章では,変数が実数だけでなく複素数にまで拡張された「複素関数」について学びます．実数関数と比べて,複素関数には非常に強力で美しい性質が数多くあり,それらを応用することで,物理学や工学における様々な問題を驚くほど簡単に解くことができます．特に「留数の定理」は,難しい実数の積分計算を可能にする強力なツールです．

25.1 複素関数

1. 複素数とは？

まず基本となる複素数 $z$ は,実数 $x$ と $y$,そして虚数単位 $i$ ($i^2 = -1$) を用いて次のように表されます．

$z = x + iy$

$x$ を実部 (Real Part) と呼び,$\text{Re}(z)$ と書きます．
$y$ を虚部 (Imaginary Part) と呼び,$\text{Im}(z)$ と書きます．

複素数は,横軸を実部,縦軸を虚部とする2次元の平面（複素平面またはガウス平面）上の一点として表現できます．

2. 極座標表現

複素数は,原点からの距離 $r$ と,実軸の正の方向から反時計回りに測った角度 $\theta$ を用いても表現できます．これを極座標表現と呼びます．

$x = r\cos\theta$
$y = r\sin\theta$

これをオイラーの公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ を用いてまとめると,非常にすっきりした形になります．

$z = x + iy = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$

この表現は,特に複素数の掛け算や割り算を考えるときに非常に便利です．

3. 複素関数とは？

複素数 $z$ を入力すると,別の複素数 $f(z)$ が出力されるような関数を複素関数と呼びます．出力される複素数 $f(z)$ もまた実部と虚部に分けることができ,実部を $\Phi(x,y)$,虚部を $\Psi(x,y)$ とすると,次のように書けます．

$f(z) = \Phi(x,y) + i\Psi(x,y)$

例： $f(z) = z^2 + 3z - 4$

教科書の例を見てみましょう．$z = x + iy$ を代入すると,

$f(z) = (x+iy)^2 + 3(x+iy) - 4$ $= (x^2 - y^2 + 2ixy) + (3x + 3iy) - 4$ $= (x^2 + 3x - y^2 - 4) + i(2xy + 3y)$

この場合,

実部: $\Phi(x,y) = x^2 + 3x - y^2 - 4$
虚部: $\Psi(x,y) = 2xy + 3y$

となり,複素関数が $x$ と $y$ の2つの実数関数で構成されていることがわかります．

25.2 複素関数の微分

1. 微分可能性（正則性）の厳しい条件

実数関数では,変数が一方向からしか近づけないため,微分の定義は単純でした．しかし複素平面上では,点 $a$ に近づく方法は無限にあります．複素関数が点 $a$ で微分可能であるためには,どの方向から近づいても極限値が同じになる必要があります．微分の定義式は実数関数と同じ形です．

$f’(a) = \lim_{z \to a} \frac{f(z) - f(a)}{z-a}$

2. コーシー・リーマンの関係式

この「どの方向から近づいても同じ値になる」という厳しい条件から,非常に重要な関係式が導かれます．教科書のように,2つの簡単な経路で近づいてみましょう．

経路1：実軸に平行に近づく (yを固定) このとき,微分係数は次のようになります． $f’(a) = \frac{\partial \Phi}{\partial x} + i\frac{\partial \Psi}{\partial x}$
経路2：虚軸に平行に近づく (xを固定) このとき,微分係数は次のようになります． $f’(a) = \frac{1}{i}\left(\frac{\partial \Phi}{\partial y} + i\frac{\partial \Psi}{\partial y}\right) = \frac{\partial \Psi}{\partial y} - i\frac{\partial \Phi}{\partial y}$

関数が微分可能であるためには,これら2つの結果が等しくなければなりません．実部と虚部をそれぞれ比較すると,

$\frac{\partial \Phi}{\partial x} = \frac{\partial \Psi}{\partial y}$ , $\frac{\partial \Psi}{\partial x} = -\frac{\partial \Phi}{\partial y}$

これがコーシー・リーマンの関係式です．ある領域内の全ての点でこの関係式を満たす（=微分可能な）関数を正則関数と呼びます．正則関数は,複素関数論において中心的な役割を担います．

先ほどの例 $f(z) = z^2 + 3z - 4$ で確認すると,

$\frac{\partial \Phi}{\partial x} = 2x + 3$ と $\frac{\partial \Psi}{\partial y} = 2x + 3$ は等しいです．
$\frac{\partial \Phi}{\partial y} = -2y$ と $\frac{\partial \Psi}{\partial x} = 2y$ なので,$\frac{\partial \Psi}{\partial x} = -\frac{\partial \Phi}{\partial y}$ が成立します．

となり,コーシー・リーマンの関係式を満たしていることがわかります．

25.3 留数の定理

ここからが複素関数論の真骨頂です．正則関数には,驚くべき積分の性質があります．

1. コーシーの積分定理

閉じた積分経路 $C$ の内部で関数 $f(z)$ が完全に正則（特異な点がない）ならば,その経路に沿った周回積分は必ずゼロになります．

$\oint_C f(z)dz = 0$

これは,積分経路をどのように選んでも,その内部に関数の「異常な点」がなければ結果は0になるという,非常に強力な定理です．

2. コーシーの積分公式

では,積分経路の内部に正則でない点（特異点）が1つだけある場合はどうでしょうか．例えば,$g(z) = \frac{f(z)}{z-a}$ という関数を考えます．この関数は点 $z=a$ で分母がゼロになるため,正則ではありません．この場合,積分の値はゼロにならず,驚くべきことに,特異点での関数 $f(z)$ の値 $f(a)$ だけで決まります．

$\oint_C \frac{f(z)}{z-a} dz = 2\pi i f(a)$

この公式は,ある点の関数の値 $f(a)$ を,その点を取り囲む経路上の積分値から求められることを示しており,非常に重要です．教科書の図25.1は,特異点 $a$ を小さな円でくり抜いた新しい積分経路 $C^$ を考えると,その内部には特異点が存在しないため,$C^$ に沿った積分は0になることを利用して,この公式を導いています．

3. 留数と留数の定理

コーシーの積分公式をさらに一般化したのが留数の定理です．積分経路 $C$ の内部に複数の特異点 $a_1, a_2, \dots, a_n$ がある場合,周回積分の値は,それぞれの特異点が積分にどれだけ「貢献」するか,その「貢献度」の合計で決まります．この貢献度のことを留数 (Residue) と呼びます．

$\oint_C f(z)dz = 2\pi i \times (\text{内部にある全特異点の留数の和})$

これは,複雑な積分計算が,各特異点での留数を求めるという代数的な計算に置き換えられることを意味します．

<例題25.1> の解説

$\oint_c \frac{z^2}{(z-3)(z+i)}dz$ を考えます．被積分関数の特異点は,分母が0になる $z=3$ と $z=-i$ です．

積分経路が $|z|=2$ の場合 この円の内部に含まれる特異点は $z=-i$ だけです．これはコーシーの積分公式 $\oint_C \frac{f(z)}{z-a} dz = 2\pi i f(a)$ を使って解けます．ここで $f(z) = \frac{z^2}{z-3}$,$a = -i$ とおくと, $\text{積分値} = 2\pi i f(-i) = 2\pi i \left(\frac{(-i)^2}{-i-3}\right) = 2\pi i \left(\frac{-1}{-3-i}\right) = 2\pi i \left(\frac{1}{3+i}\right)$ $= \frac{2\pi i (3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{2\pi (3i - i^2)}{9 - i^2} = \frac{2\pi(1+3i)}{10} = \frac{\pi}{5}(1+3i)$
積分経路が $|z|=4$ の場合 この円の内部には,$z=3$ と $z=-i$ の両方が含まれます．この場合は留数の定理を用います．
1. z=3 での留数: $\text{Res}(f, 3) = \lim_{z\to 3} (z-3)f(z) = \lim_{z\to 3} \frac{z^2}{z+i} = \frac{3^2}{3+i} = \frac{9}{3+i}$
2. z=-i での留数: $\text{Res}(f, -i) = \lim_{z\to -i} (z+i)f(z) = \lim_{z\to -i} \frac{z^2}{z-3} = \frac{(-i)^2}{-i-3} = \frac{-1}{-3-i} = \frac{1}{3+i}$
留数の定理より,積分値は $\oint_C f(z)dz = 2\pi i \left( \text{Res}(f, 3) + \text{Res}(f, -i) \right) = 2\pi i \left(\frac{9}{3+i} + \frac{1}{3+i}\right)$ $= 2\pi i \left(\frac{10}{3+i}\right) = \frac{20\pi i(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{20\pi(3i-i^2)}{10} = 2\pi(1+3i)$

このように,複素関数の強力な性質を理解することで,一見複雑な積分も系統的に解くことができるようになります．

2.1.1.1.2 - 第26章複素関数の応用

第26章複素関数の応用

この章では，第25章で学んだ複素関数の強力な性質が，物理学や工学の具体的な問題をいかに簡潔に解き明かすかを見ていきます．特に，振動，電気回路，流体力学といった分野でその威力がいかんなく発揮されます．

26.1 振動

物理の世界では，バネと重りのような「振動」現象は，次のような2階の線形常微分方程式で記述されることがよくあります．

$$\tag*{(1)} m\frac{d^2x}{dt^2} + C\frac{dx}{dt} + kx = f_0 \cos(\omega t)$$

ここで，$x$ は変位，$m$ は質量，$C$ は抵抗，$k$ はバネ定数，右辺は外部から加わる周期的な力（強制力）です．

この方程式を解くのは，特に右辺の $\cos(\omega t)$ があるために少々面倒です．しかし，ここで複素関数を用いる「トリック」が非常に有効です．

アイデア：複素数で方程式を単純化する

複素数化: 求めたい解 $x(t)$ を実部とする新しい複素関数 $z(t) = x(t) + iy(t)$ を考えます．そして，強制力もオイラーの公式 $e^{i\omega t} = \cos(\omega t) + i\sin(\omega t)$ を用いて複素数に拡張します．すると，元の方程式は次のような複素数の方程式になります．

$$\tag*{(2)} m\frac{d^2z}{dt^2} + C\frac{dz}{dt} + kz = f_0 e^{i\omega t}$$
解の仮定: この複素方程式の特殊解を，$z = Be^{i\omega t}$ という形だと仮定します（$B$ は定数複素数）．なぜこの仮定がうまくいくかというと，$e^{i\omega t}$ は微分しても形が変わらず，係数が前に出るだけだからです．
代数方程式への変換: $z = Be^{i\omega t}$ を複素方程式に代入すると，微分が単なる掛け算に変わります．
- $\frac{dz}{dt} = i\omega (Be^{i\omega t}) = i\omega z$
- $\frac{d^2z}{dt^2} = (i\omega)^2 (Be^{i\omega t}) = -\omega^2 z$
これらを代入すると， $m(-\omega^2 Be^{i\omega t}) + C(i\omega Be^{i\omega t}) + k(Be^{i\omega t}) = f_0 e^{i\omega t}$ 両辺の $e^{i\omega t}$ を消去すると，微分方程式は $B$ についての単純な代数方程式になります． $B{(k - m\omega^2) + iC\omega} = f_0$
解の導出: これにより，複素数の振幅 $B$ が簡単に求まります．

$$B = \frac{f_0}{(k - m\omega^2) + iC\omega}$$
実部を取り出す: 最後に，私たちが本当に欲しかった解 $x(t)$ は，複素数の解 $z(t) = Be^{i\omega t}$ の実部を取ることで得られます． $x(t) = \text{Re}(z) = \text{Re}(Be^{i\omega t})$

この方法は，三角関数の面倒な加法定理や合成の計算を，複素数の単純な四則演算に置き換えるもので，物理学や工学で広く使われる非常に強力なテクニックです．

26.2 交流回路

電気回路，特にコイルやコンデンサーを含む交流回路の解析も，複素関数を用いることで劇的に簡単になります．ここでのキーコンセプトは複素インピーダンスです．

アイデア：オームの法則を複素数に拡張する

直流回路では，電圧 $V$，電流 $I$，抵抗 $R$ の間にオームの法則 $V = RI$ が成り立ちました．交流回路では，コイルやコンデンサーの働きにより電圧と電流の間に「位相のずれ」が生じるため，この法則はそのままでは使えません．

そこで，電圧と電流を複素数 $V = V_0 e^{i\omega t}$，$I = I_0 e^{i\omega t}$ として扱います．すると，各部品での電圧降下は次のようになります．

抵抗 (R): $V_R = RI$
コイル (L): $V_L = L\frac{dI}{dt} = L(i\omega I) = (i\omega L)I$
コンデンサー (C): $V_C = \frac{1}{C}\int I dt = \frac{1}{i\omega C}I = (-i\frac{1}{\omega C})I$

回路全体では，$V = V_R + V_L + V_C$ なので，

$$\tag*{(7)} V = \left\{R + i\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)\right\}I$$

ここで，オームの法則 $V = RI$ と見比べると，抵抗 $R$ の代わりに $\left{R + i\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)\right}$ という複素数が入っていることがわかります．これを複素インピーダンスと呼び，$Z$ で表します．

$Z = R + i\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)$

これにより，交流回路は $V = ZI$ という，まるでオームの法則のような非常にシンプルな式で記述できます．複素インピーダンス $Z$ は，単なる抵抗だけでなく，位相のずれの情報もすべて含んだ，非常に便利な量なのです．

26.3 偏微分方程式への応用

複素関数は，流体力学や電磁気学で現れる特定の偏微分方程式系を解くためのエレガントな手法を提供します．

アイデア：コーシー・リーマンの関係式と物理法則を結びつける

流れの無い（$\nabla \cdot \vec{A} = 0$），渦の無い（$\nabla \times \vec{A} = 0$）ような理想的な2次元のベクトル場 $\vec{A} = (u, v)$ を考えます．これらの物理的な条件は，数式で書くと次のようになります．

流れ無し（発散ゼロ）: $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$
渦無し（回転ゼロ）: $\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} = 0$

ここで，これらの式を変形すると， $\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial y}$ $\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y}$

この式は，第25章で学んだコーシー・リーマンの関係式と本質的に同じ構造をしています．速度ポテンシャル $\Phi$ と流れ関数 $\Psi$ を導入し， $u = \frac{\partial \Phi}{\partial x} = \frac{\partial \Psi}{\partial y}$ $v = \frac{\partial \Phi}{\partial y} = -\frac{\partial \Psi}{\partial x}$ とすることで，複素ポテンシャル関数 $f(z) = \Phi(x,y) + i\Psi(x,y)$ が正則である条件（コーシー・リーマンの関係式）と，ベクトル場が渦なし・湧き出しなしの条件とが完全に一致します．

この発見のすごいところ：これはつまり，「適当な正則関数を一つ見つけてくれば，その実部と虚部は，物理的に意味のある（渦なし・湧き出しなしの）流れ場を自動的に与えてくれる」ということを意味します．難しい偏微分方程式を直接解く代わりに，扱いやすい複素関数を探す問題にすり替えることができるのです．

例：角を回る流れ (図26.3)

教科書では，直角の角を回る流れを解析するために，$f(z) = Cz^{2/3}$ という関数を用いています．この関数の実部と虚部から速度を計算すると，角（原点）に近づくほど ($r \to 0$)，速度の大きさが $U \propto r^{-1/3}$ となって無限大に発散することがわかります．

これは物理的に，L字型の部材の角に応力が集中し，そこから破壊が起こりやすいことなど，現実の現象をうまく説明しています．

2.1.1.2 - 数学Ⅱ

数学Ⅱ

2.1.2 - 全学教育

全学教育

2.1.2.1 - LU分解

LU分解は、正方行列 A を下三角行列 L と上三角行列 U の積に分解する手法で、主に連立一次方程式を効率的に解くために用いられます。

LU分解の定義と性質 📝

LU分解は、行列 A を A = LU の形に変形します。

L (下三角行列): 対角成分がすべて 1 の単位下三角行列です。
U (上三角行列): ガウスの消去法によって得られる上三角行列で、対角成分にピボット（計算の軸となる要素）が並びます。

この分解により、行列の重要な特性を判断できます。

可逆性の判定: 行列 A が可逆（逆行列を持つ）かどうかは、行列式 $\det(A)$ がゼロでないかで決まります。LU分解では $\det(A) = \det(U)$ となるため、U の対角成分にゼロが含まれていなければ、A は可逆であると判断できます。
PLU分解: 計算途中でピボットがゼロになると、通常のLU分解は続行できません。この問題は、行の入れ替えを行う置換行列 P を用いて PA = LU の形にする PLU分解で解決します。

LU分解の計算アルゴリズム ⚙️

LU分解の計算は、**ガウスの消去法（前進消去）**に基づいています。

U の計算: 行列 A に前進消去を適用し、階段行列に変形したものが U となります。
L の計算: 消去の各ステップで使われた乗数を記録することで L が作られます。例えば、$L_{ij}$ 成分には、「行 j を何倍して行 i から引いたか」という値が入ります。

LU分解の応用 ✨

LU分解は、その効率性と数値的な安定性から、様々な計算に応用されます。

連立一次方程式の解法

$Ax = b$ という問題を、以下の2つの簡単なステップに分割して解きます。

前進代入: まず、$Ly = b$ を解いてベクトル y を求めます。
後退代入: 次に、$Ux = y$ を解いて最終的な解 x を求めます。

この方法は、逆行列を直接計算するよりも計算量が少なく、数値的にも安定しています。

逆行列の計算

逆行列 $A^{-1}$ を求めることは、$Ax_j = e_j$（$e_j$ は単位ベクトル）という方程式を、列の数だけ解くことと同じです。一度 A = LU と分解してしまえば、あとは前進・後退代入を繰り返すだけで、効率的に逆行列を計算できます。

最小二乗法との関連

方程式 $Ax = b$ に厳密解がない場合、最小二乗法で誤差を最小化する近似解を探します。しかし、行列 A が可逆であれば、必ず一意の厳密解が存在します。この場合、最小二乗解は厳密解と一致し、誤差はゼロとなります。

2.1.2.2 - QR分解

今回のQR分解に関する問題群を解く上で必要となる理論的背景や知識を，復習しやすいようにセクションごとにまとめます．

セクション1：QR分解の定義と性質

このセクションを理解するには，QR分解の構成要素である直交行列 $Q$ と上三角行列 $R$ の基本的な性質を把握することが重要です．

行列の積と次元: $(m \times n)$ 行列と $(n \times p)$ 行列の積は $(m \times p)$ 行列になります．積が定義できるのは，左の行列の列数と右の行列の行数が一致する場合のみです．
直交行列 ($Q$) の定義:
- 転置行列 $Q^T$ との積が単位行列 $I$ になる行列のことです ($Q^T Q = I$)．
- これは，行列を構成する列ベクトル同士が正規直交であることと同値です．
正規直交の意味:
- 正規 (Normal): 各列ベクトルのノルム（長さ）が1であること．
- 直交 (Orthogonal): 異なる列ベクトル同士の内積が0であること．
行列式の性質:
- 積の行列式は，行列式の積と等しくなります ($det(AB) = det(A)det(B)$)．
- 直交行列の行列式は，必ず $det(Q) = \pm 1$ となります．
- これらの性質から，$A = QR$ の関係は $det(A) = det(Q)det(R) = \pm det(R)$ となります．
ノルム保存性:
- 直交行列 $Q$ はベクトルのノルム（長さ）を保存します．つまり，任意のベクトル $x$ に対して $||Qx|| = ||x||$ が成り立ちます．幾何学的には，回転や鏡映のような変換はベクトルの長さを変えないことに対応します．
行列のランク (階数):
- 行列のランクとは，線形独立な列（または行）ベクトルの最大本数のことです．
- QR分解では，$rank(A) = rank(R)$ という重要な関係が成り立ちます．
- 階段行列である $R$ のランクは，ゼロでない行の数，あるいはピボット（各行の主成分）の数と一致します 11．
上三角行列 ($R$) の行列式:
- 上三角行列（または下三角行列）の行列式は，対角成分の積に等しくなります．

セクション2：QR分解の計算（グラム・シュミット法）

このセクションは，QR分解を実際に計算するアルゴリズムであるグラム・シュミットの正規直交化法の理解が中心となります．これは，$A$ の列ベクトルから，順々に正規直交なベクトル（$Q$ の列ベクトル）を生成していくプロセスです．

最初のベクトル ($q_1, r_{11}$):
- $r_{11}$ は，$A$ の1列目 $a_1$ のノルム（長さ）です ($r_{11} = ||a_1||$)．
- $q_1$ は，$a_1$ をそのノルムで割って正規化した（長さを1にした）ベクトルです ($q_1 = a_1 / r_{11}$)．
2番目以降のベクトルの直交化:
- $R$ の非対角成分 $r_{ij} \ (i < j)$ は，ベクトル $a_j$ と正規直交ベクトル $q_i$ の内積で計算されます ($r_{ij} = q_i^T a_j$)．
- 新しい直交ベクトル $v_j$ を得るには，元のベクトル $a_j$ から，それまでに作成した全ての正規直交ベクトル ($q_1, \dots, q_{j-1}$) 方向への射影成分をすべて引き算します．
- 例えば，2番目の直交ベクトル $v_2$ は，$v_2 = a_2 - r_{12}q_1$ で求められます．
2番目以降のベクトルの正規化:
- $R$ の対角成分 $r_{jj}$ は，直交化されたベクトル $v_j$ のノルムです ($r_{jj} = ||v_j||$)．
- 次の正規直交ベクトル $q_j$ は，$v_j$ をそのノルム $r_{jj}$ で割ることで得られます．
自明なケース:
- もし行列 $A$ が最初から上三角行列であれば，そのQR分解は自明であり，$Q = I$（単位行列），$R = A$ とすることができます．

セクション3：QR分解の応用

このセクションでは，QR分解が線形代数の問題を解くために，いかに強力なツールであるかを学びます．

過決定系と最小二乗法:
- 過決定系とは，未知数の数よりも方程式の数が多いシステムのことです．
- 一般に厳密解は存在せず，代わりに誤差 $||Ax - b||$ を最小化する最小二乗解を求めます．
行列の特異性の判定:
- 特異行列とは，逆行列を持たない行列のことで，行列式が0であることと同値です．
- QR分解の性質から，$A$ が特異であるか否かは，$R$ の対角成分に1つでも0があるかどうかで判定できます．0があれば特異，なければ特異ではありません．
最小二乗解の安定な計算:
- 最小二乗解を求める標準的な方法は，正規方程式 $A^T Ax = A^T b$ を解くことです．
- しかし，$A^T A$ の計算は数値誤差を増幅させることがあります．
- QR分解を用いて $Rx = Q^T b$ を解く方法は，この問題を回避できるため，数値的により安定した優れた手法です．
次元の理解 (縮小QR分解):
- 縦長の $m \times n$ 行列 $A$ (ただし $m > n$) のQR分解では，通常，$Q$ は $m \times n$，$R$ は $n \times n$ の大きさになります．これは特に最小二乗法への応用で重要になります．
自由変数とランク:
- 連立方程式の解において，変数はピボット変数と自由変数に分けられます．
- ピボット変数は，係数行列を階段形にしたときの各行の主成分（ピボット）に対応する変数です．
- 自由変数はピボットを含まない列に対応する変数で，任意の値をとることができます．
- 自由変数の数は「（変数の総数）-（ピボットの数）」で計算できます．ピボットの数は行列のランクと等しくなります．